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需求的概念
在我们的分析中，需要被当作是既定的，或是作为事实。但是，我们应该承认，需要既可以是行为的起因，也可以是行为的结果（《马歇尔经济学理论》第三卷，第2章也持这种观点）。有一种“为生存而工作”的学派认为需要是主要的目的；另有一种“为工作而生存”的学派，认为活动是主要的目的。在许多方面，这种分类是非常重要的，而且它是辨明一个经济学家在许多问题上立场的关键点。例如，某人（也许含蓄地）是属于“为生存而工作”学派，像阿尔文·汉森，主要强调现存的需要，把消费者看成是主要的经济实体，把消费函数视为稳定的并且是理解经济的关键，并且乐于接受停滞的观点。在另一方面，某人属于“为工作而生存”学派，像熊彼特，把生产者－创新者视为主要的经济实体，强调创新（即使它可能波浪式地到来），并被引向一种动态的经济发展理论。
需要的相对性，即非恒常性，有许多重要的含义。第一，它直接影响资源的配置，既然这种非恒常性意味着一种基本的需要是为了更多的需要，这些需要导致人们被雇佣去讲授音乐和美术欣赏，等等。第二，也是更重要的一点，它意味着全部需要的完全满足——一个实在富足的经济——是不可能的。存在于任何时点上的所有需要的满足将意味着出现一系列新的需要。就美国150年前的标准，或者今天地球上一些欠发达国家的标准而言，美国目前的生活标准好似人间天堂。由此可以推知，在绝对意义上定义生活最低标准是不可能的，一种广为流传的错误概念认为，标准可以“科学”地确定，其典型的含义是指依照物理和生物规律来确定，而不是依赖于“主观的价值”。很显然，如果比较一下建立在不同时间或不同社会的不同标准，会发现这里存在许多矛盾。这些标准之间的差异是巨大的，而且清楚地显露出习俗上的不同。同样，通过考察这些不同标准的食物内的含量也能看出存在着矛盾。现实已经表明，那些想构造最低成本食品的人，习惯上确定的食品营养含量的1／4或更少就可满足应摄取的营养需要。其余食品则是用来满足食品花样翻新的需要，或者是满足口感良好的需要，即用来满足那些无法作出客观评价的需要。
尽管有这些限定条件，经济理论还是继续基本上把需要视为固定的。这主要是学科上分工的结果，经济学家很少谈论需要的形成，这是心理学家的领域。经济学家的任务是找出任何一组给定的需要所产生的后果。同其他理论上的抽象一样，这种理论的抽象的合理性和正当性最终必然依赖于由它发出的光和由它产生的预见力。
在需求理论上一个基本的区分是，区分在需求表意义上的需求和在需求量意义上的需求。混淆这两种意义的需求是有害的，举例说：（1）“价格上升因而需求减少”。（2）“需求增加因而价格上升”。这两句话分开看是清楚的，如果认为需求一词在两句话中具有相同的意思，则这两种说法显然是矛盾的。当然，实际并不是如此，在（1）中需求指的是“需求量”，在（2）中需求指的是“需求表”。在下面的论述中，需求一词将仅用于指称需求表；需求量将用于指称某种特定的数量。
为了要清楚地说明这种差异，请考虑下列命题；“黄油价格的变动可能影响对人造黄油的需求，但它不影响对黄油需求，仅影响对黄油的需求量。”
一个特定群体对某一特定商品的需求曲线可以定义为点的轨迹，在每一点上显示着在某一特定价格下，每单位时间这个群体将购买的该商品的最大数量。这样做表示了想把某一时刻的商品流通速率与价格联系起来的企图。对于许多问题，把需求曲线作为划分两个空间的界线是有用的，在给定的需求条件下，需束曲线左边空间里表示的点是可以达到的，就是说，需求者可能乐意在该点所表示出的价格下买所表示的数量；需求曲线右边空间里表示的点是不可能达到的，也就是说，需求者将不愿在所表示出的价格下买表示出的数量（见图2．1）。
对任何一种商品或劳务的需求都是一种合成需求，它包含着对许多不同用途的需求，例如，对皮革的需求，包含着制鞋对皮革的需求和印制袖珍本书籍对皮革的需求，等等。对某一产品的需求可能与对一些其他产品的需求相联系，如，网球拍和网球、汽车和汽车轮胎存在着连带需求。更为一般地讲，对任何产品的需求总是对生产它所使用的资源的连带需求。对一种商品和劳务的需求可能是由对一些最终商品的需求所衍生，如，对木匠的需求是由对房屋的需求所衍生。
消费者对最终产品的需求是产生对资源的派生需求的最终原因。但是，在短期内，商人的需求可能不受最终消费者需求的影响而独立变动。反过来，商人的需求却可能强烈地受未来价格预期的左右和影响，这一因素通常对决定消费需求微不足道。由于这一缘故，在研究这类市场的日常波动时，一般的需求和供给理论就显得不是很有用了。当然，这种理论在形式上依然可以被用于这种研究目的，但主要注意力不得不放在研究这些被动体内部的变动上，而不是研究伴随波动而形成的运动。说明这一点的另一方式是，当影响需求的力量与影响供给的力量十分不同时，需求和供给就成为有用的概念，就如同通常用它们解释消费者和生产者一样。这里，需求者与供给者一般来说不是同一组人，因而影响需求与供给的力量也不是相同的。但是，在交易市场上，需求者和供给者是相同的人，他们经常从市场交易中的一类人转为另一类人。
当把需求曲线视为界线时，在给定条件下的需求曲线上的一点代表着在单位时间内、一定价格下，买主可能购买的最大数量。简言之，人们须列举出需求者所能考虑的各种选择。按照一般规则，需求曲线假定需求者在所表示的价格下可以自由地购买表示出的数量或较小的数量。如果假设需求者面临着一个“全部或全不”的选择，即买主面临买表示出的数量或都不买的选择，这时，就可得到一个不同的需求曲线。一般来说，全部或全不的需求曲线是在一般需求曲线的右边（如图2．2）。在特殊的事例中，其位置决定于影统区域B等于影线区域A的条件。较为一般的情况是，这种曲线被认为位于一般需求曲线和这种特殊条件决定的曲线之间。全部全不需求曲线在分析某些问题时是有用的，但是，我们将主要研究一般形态的需求曲线。
在需求曲线上“时间”起着三个不同的作用。首先，横轴衡量每单位时间的数量，例如，每月每年对鞋的需求。时间的这种应用还使我们有可能描绘一条连续的曲线以表示如钢琴或房子这样的商品项目。这些商品的购买是以离散数量的方式进行的。其次，需求曲线上的各点应该看成是一些瞬间的选择。这个需求曲线是这一瞬间的快照，并且呈现了在可供选择的各种价格上可能购买的最大数量。在这种情况下，“时间”是作为“在给定的条件下”同义语来使用的。第三，需求曲线依赖于调整的时间长度。使用需求曲线的目的是为了便于分析供给变化的影响。然后，任何供给变化的影响将依赖于在需求曲线上允许做出的对时间长度的调整。在所有时期中最短的时期内，这时的条件只允许有非常小的变动，人们可以看到这时的需求曲线仅有最小的弹性。当允许条件变动的区间扩大时，人们将能够看到，这条需求曲线的弹性增加，如图2．3所示。
供给的概念
如同分析需求一样，在分析供给时，区分供给表和供给量是必要的。供给表把同供给条件一致的价格一数量组合与那些不一致的组合分离开来。通常，供给表被定义为表示将引出的已知供给数量的最低价格。这个定义还包含了这样一种情况，即供给曲线是一条趋向下滑的负斜率曲线，关于这一点以后将看得更加清楚。对于许多问题来说，供给曲线本身并不太重要，它所限定的区域倒是较重要的。像需求曲线一样，供给曲线涉及到三种不同意义时间的运用。在横轴测量每单位时间数量的意义上有时间；在供给曲线上的各点应解释为瞬间的选择的意义上有时间，最后，在描绘供给曲线时，允许有一个适应的时期的意义上也有时间。对最后一种时间的应用，使人们能够描绘出短期和长期的供给曲线。
现在，我们可以把供给和需求这两个工具合在一起，并且概括地考察所谓的供求规律。
需求和供给曲线把相关的或可观测的价格-数量关系限制在图2．4中的一个三角形的、画有交叉影线的区域内。为了更加准确的表述这种关系，需要做不同制度上的假设。在自由市场，图2．4（A）上供给和需求表的交点具有特定的重要意义。在这个特定的价格上，也仅在这个价格上，需求者和供给者的愿望可以同时得到满足。在任何别的价格上，不是需求者要买的东西多于供给者要卖的东西（短缺），就是供给者要卖的东西多于需求者要买的东西（过剩）。在A点，需求和供给背后的潜在力量，而非需求和供给本身，建立起了一种能够平衡供给和需求数量的价格。
如果自由市场不占优势，价格可能不落在点A上。例如，假定政府限定最高价格在OB上，并且有效地执行着。在这种情况下，需求者期望买到BD，供给者则只卖到BC。完整的描述应该确切说明这种互相抵触的愿望如何得到调和。不管怎样，BC将必须在渴望买BD这一较大数量的需求者中间实行配给。CD测定着配给问题的难易和对最高限价的压力。如果解决的方法不是补贴供给者，而是其他的方法，最终的点将落在C上。同样，假定OE是规定的最低价格，并且有效地执行着，需求者想买的仅仅是EF，而供给者想卖EG。现在的问题是对供给者实行配额制，FG测定着执行配额制的难易。
有两个例子可能有助于说明这些概念的作用。首先，考虑一下第二次世界大战中和战后初期的汽车实例，汽车制造商维持着低于供给量和需求量平衡所需价格的牌价。结果是大多数消费者不能用名义牌价买到汽车，他们用付给汽车代销商佣金的形式，或用在旧车交易中降低回扣的形式，或者把全新的汽车当不控制价格的“旧车”买。消费者实际上支付的价格比制造商可能制定的高牌价还要高。如果制造商制定一个较高的牌价，汽车供给数量也会增加，因为较高的价格可能诱导他们不顾较高的成本而推出更多的汽车。不过有一点是清楚的，大量的汽车将意味着对消费者有一个较低的自由市场价格，因为，无论制造商实行何种政策，需求条件是相同的。生产环节的“低价”结果导致较低的汽车产量，还导致最终消费者要对每辆汽车支付较高的价格，以及引起劳动者和消费者的收入重新分配给汽车代销商。用图2．5可以表示这个过程。如果允许供给和需求背后大量自由活动，那么，均衡数量是在OE。均衡价格是在OC。在名义“牌”价OA时，供给量是OB，但消费者情愿付价格OD来取得OB的数量。结果产生了各种各样间接支付这种价格的形式。最终所付的价格（OD）高于均衡价格（OC），而且，供给量（OB）也低于价格如在OC时的数量（OE）。
第二个例子是工会组织争取提高工资率的行动。工会制订工资率或固定最低工资率（这种工资率假定高于均衡工资率）是根本的限制性行动。由于工会制订的工资高于均衡工资，所以，供给曲线所表示的、愿意在工会制订的工资下工作的人数超过需求曲线所表明的、雇主愿意在这一工资水平上雇用的人数。因此，工会的许多活动就是将可干的工作分配给寻找工作的人。这些就是像收取高额入会费和要求雇主超需求雇用工人这样一些做法的实际经济功能。
在上述分析中，已经运用了均衡价格的概念，关于均衡概念的某种详尽阐述也许是适当的。均衡状态是这样一种状态，它一经确立，就将被维持下去。有三种不同形态的均衡应加以区别：稳定的、亚稳定的和不稳定的。所谓稳定均衡是，如果出现一个小的移动，将会再次回到原始的位置。例如，对于一个负斜率的需求曲线和一个正斜率的供给曲线，如果价格上升到超过均衡价格，供给量将超过需求量。这将产生各种力量发挥作用驱使价格返回到原来的均衡水平。当出现任何移动后，没有再进一步运动的倾向，这就是亚稳定情况。这种情形中的需求曲线和供给曲线恰好重合。不稳定均衡形态是指，从原始位置移动所产生的力量会导致更进一步的移动时的情形。例如，价格上升导致需求量超过供给量，进而引起价格的更高上涨。
弹性概念
需求弹性概念用于描述需求曲线的特性。用一般术语讲，即用于描述价格变动对需求量的影响——价格变动时需求量“扩张”的范围。数量和价格的变化通常由百分数的变动测定，以便取得弹性的测度，这种测度是独立于表述价格和数量时所用的单位。更具体地讲，需求弹性是指需求数量上的百分数变化对价格百分数变化的比率，当“其他事物”已定和价格变动趋向于零时，这个价格百分数的变化对需求量变化负责。用数学术语来讲，需求弹性等于dq/dp·p/q＝n，在这里q是需求量，p是价格。对于需求曲线，n值域一般是从0到-8，因为数量和价格的变动方向相反。人们常常试图在一根连接两点的弧线上计算弹性，并反复使用的公式是q2-q1/q1·p1/p2-p1。然而这个公式的答案依赖于取哪个点为起始点。通常，在弧线上没有一种明确的测定弹性的方法，仅有大量的公式用来估计弧弹性和近似弹性的精确值。基于这一理由，比较其他弹性概念，点弹性的概念是较为有用的。
点弹性的概念可以应用于任何函数，例如，在C一定时求A对B的弹性。因此，弹性是任何两个有函数关系变量的一种性质。由此可知，在一般情况下，弹性公式是（aA/aA·B/A）C。可是在需求分析中，只有两个变量有待处理，弹性公式才可以写成dq/dp·p/q。用数学语言描述，弹性不过就是对一个因数的对数的求导，即dlogq/dlogp。
在处理需求曲线时，运用弹性概念最重要的理由之一是，它提供了揭示总收益变动的最适合的方法。总收益的变动取决于两个因素：价格变动和数量变动。就负斜率的需求曲线而言，这些因素对总收益有相反的作用。价格降低趋向于减少收益，与这些相关的数量增加又趋向于增加收益；反之，价格上升则趋向于增加收益。如果价格百分数的变化在绝对值上等于相关数量的百分数变化，则这两种作用相互抵消，总收益不变。在这种情况下，从定义上看是清楚的，即需求弹性是-1，一般称为需求的单位弹性。如果价格的百分数变化在绝对值上比相关数量的百分数变化大，这时价格的变动作用占绝对优势，因此，总收益的变动与价格变动是同一方向的，价格降低收入减少，价格上升收益增加。在这种情况下，弹性将在0到1之间取值，并且需求被认为是缺乏弹性的。如果价格的百分数变化在绝对值上比相关数量的变化较小，这时数量的变动作用占绝对优势，所以，总收益的变动与数量变动方向相同，与价格变动则方向相反，当价格下降时总收益增加，当价格上升时总收入减少。此时，弹性在-1到8之间取值，需求被认为是有弹性的。
就几何方法而言，上述关系可用图2．6表示。就解析方法而言，假设价格变化为△p，与价格变化相关的数量变化为△q，
新价格下的总收益
＝（q＋△q）·（p＋△p）
＝qp＋q△p＋p△q＋△p△q。当△P接近于零时，△p△q通常与其他项比较趋于非常小，可以被忽略，因此，
总收益的变动＝△（pq）＝p△q＋q△p。用△q除以表达式p△p＋q△p，得出，
p△q＋q△p/△q＝p（1＋q/p·△p/△q）＝p（1＋1/η）＝边际收益。边际收益的定义是，每单位数量变化引起的总收益上的变动。如果需求是有弹性的，η将是在－1到－∞之间，因此，1/η是在0到-1之间，公式1＋1/η将为正值（在0到1之间），边际收益将为正值，当价格下降时总收益将上升。如果需求是单位弹性，即（－1），式子（1＋1/η）将等于零，边际收益将是零，总收益将不变。如果需求是没有弹性的，式子（1＋1/η）是负值，当价格下降时总收益将减少。
现在可以指明弹性概念的若干用途了。需求曲线愈没有弹性，供给数量上特定的变动会导致价格上的更大波动。在农业事例中，假定需求曲线是缺乏弹性的，这就意味着每一次供给量的变动将给单位产品价格带来相对的较大变动。此外，每次供给量上的增加意味着总收益的减少。
考察垄断者的情况，即使不了解有关他的产品成本曲线，也能立即下结论，即他决不会在他的需求曲线缺乏弹性的条件下经营。在这种需求曲线条件下，收益将少于较高价格时的收益，而总成本显然是一样的。因为，一般来讲，这时生产较少产品比生产较多产品的成本不会增加（工厂主总是使用生产较多产品，然后将多余部分处理掉的方法来生产较少产品）。不过，假若一个人能够选择一种产业加以垄断的话，他将会选择那种在竞争价格下需求曲线严重缺乏弹性的产业。一旦垄断地位成功地确立起来，价格将被提高到需求曲线上有弹性部分，以利于经营（当然，在弹性区域上的确立点，决定于成本条件）。
另一种需要我们加以考虑的是，垄断者的生产成本为零时的情况。垄断者不会在他的需求曲线缺乏弹性的部分经营，因为在这里，他总可以通过提高价格来增加收入。同样，垄断者不会在需求有弹性的部分经营，因为这时他总可以通过降低价格来增加收益。因此，他将在需求既不是有弹性，也不是无弹性，亦即单位弹性的条件下经营。在此点上，总收益将是最大的。
有时人们会根据需求曲线的弹性，把产品分为奢侈品和必需品，必需品需求缺乏弹性，而奢侈品需求富于弹性。这种关于奢侈品和必需品的定义产生了一些奇怪的结论，例如，这种定义将香烟划归必需品，却将白面包划归奢侈品。事实上，很难以任何有意义的方式给出这两个名词的定义。消费者只有当他认为将一单位货币花费在某一用途上，以得到“价值”、或“效用”、或“满足”，同将这一单位货币花费在另一些用途上能得到的“价值”、或“效用”、或“满足”一样时，他才处于均衡状态。否则，他为什么不从某一用途上减少一单位支出而用于其他用途呢？由此可得出结论，在边际状态下，任何东西都同样是必需的，或同样是非必需的。以后我们将看到，奢侈品一词的定义较多地是就收入变动对它产生的影响而言，而不是就价格变动对它的作用而言。
需求弹性主要决定于替代品的可用性。因而，某一产品的定义越狭窄，可用的替代品就越多，则该产品的需求弹性就越大。故白面包的需求弹性就比面包的弹性大得多。
其他情况均相等
需求函数已定义为诸点的轨迹，该轨迹表示的是，在其他已定条件不变的情况下，在各种不同的价格下，所购买的最大数量。乍看起来：如果需求曲线被规定为所有其他情况均维持不变，则数量和价格就不可能发生变化，需求曲线也就无用途。作为一个并不那么极端的例子，其他情况相等中的“情况”有时包括下列内容：
（1）所有其他产品的价格。
（2）所有其他产品的数量。
（3）消费者的货币收入或货币支出。
如果全部三种情况都包括在其他情况均相等中，那么，所有其他产品的价格和数量都保持不变，货币收入或支出总量也保持不变，则用于某商品的支出货币量也就是已定的，其结果，需求曲线将必然是单位弹性的。很显然，用这种使所有需求曲线都成为单位弹性的方法来定义需求曲线没什么用处的。
规定其他情况均相等的目的是方法论的，并非实质性的。需要探讨的问题并不是事实问题，即并非要探求哪一事物将不变或要变，而是应使用什么原则来选择那些事先假定其保持不变的事物。我们以后将会看到，假定某些必将发生变化的变量保持不变是有用的（某些变数影响我们问题中的一些变量，反过来我们问题中的变量又影响那些变量），理由恰恰是希望分析变量将要发生的变动。例如，考虑一下取消对人造黄油的税收对其价格和产量的影响。免除税收意味着人造黄油的供给将有所变化，问题变成了绘制一条什么样的人造黄油需求曲线的问题，人造黄油需求曲线的形状取决于黄油的哪些条件保持不变，如图2．7所示。
假如黄油的供给完全无弹性，那么，人造黄油的理想需求曲线可画成黄油数量保持不变的样子。另一方面，如果黄油的供给具有完全弹性，那么，人造黄油的理想需求曲线可画成黄油价格保持不变的样子。实际上，黄油的价格和数量在人造黄油价格降低时也将相应出现降低或减少。在这一事例中，该问题必须使用连续逼近法才能最方便地得到解决，如黄油的供给真是具有完全弹性或完全无弹性，那么，新画出的需求曲线将可以直接得到问题的答案，而无需使用连续逼近法。
在分析对人造黄油实行免税的影响时，让我们画一条黄油价格保持不变的人造黄油需求曲线。如果黄油的供给是具有完全弹性的，则人造黄油的价格将下降，数量将上升；而黄油的数量将下降。图2．8中假定黄油的供给曲线不是具有完全弹性的。当人造黄油的价格从75美分降到65美分，黄油的需求曲线将移动，价格将从85美分降到80美分。不过，当黄油价格从85美分降到80美分时，人造黄油曲线也将移动，并且价格将降到63美分，这又使黄油需求曲线再一次移动，等等。如果这个过程持续足够长的时间，就可以取得如下联立方程式的解：
黄油 人造黄油
供给 qb＝qb（Pb） qo＝qo（po）
需求 qb＝fb（Pb，Po） qo＝fo（Pb，Po）
上述事例清楚地说明在曲线上（其他情况均相等）保持一些事物不变与事实上假定一些事物不变是有区别的。在人造黄油事例中，让黄油价格保持不变，恰是为了便于分析以后它将发生的变动。
有人可能要问，为什么不直接解这个联立方程式，而要用上面提到的连续逼近方法呢？答案是，实际上我们很少能得到确定的联立方程式。我们运用我们所掌握的概念上的工具，进行基本上是质的分析，连续逼近法的过程能清晰地表示出每一点上所需的情况，当求解答案时，能够在所允许的有效知识内进行解答，或可使分析工作在考虑可以运用的信息和所需的精确度内进行。
为了分析需求和其他目的，把保持不变的“其他事物”分成三类是有必要的：
（1）能显著影响所要研究的变量，并随即会受到该变量的显著影响的那些“事物”，例如，在分析取消人造黄油税收后对人造黄油价格影响时遇到的黄油价格。
（2）能显著影响所要研究的变量，但它们并不受该变量的显著影响的那些“事物”，例如，在分析取消人造黄油税收后对人造黄油价格影响时遇到的收入。
（3）既不显著影响所要研究的变量，又不受该变量的显著影响的那些“事物”，例如，在分析取消人造黄油税收后对人造黄油价格影响时遇到的皮革价格。
第（1）类中的事物保持不变是为了研究它们将来要经历的变动，它们保持不变仅仅是分析过程中的一个中间步骤。第（2）类中的事物保持不变是为了使分析有确定性，从其他（独立）进行的变动中分离出应加以考虑的特殊关系。第（3）类事物从略。以研究人造黄油需求为例，包括在第（1）类中的变量是一些密切相关的商品价格和数量，即，替代品或补充物。归于第（2）类的变量包括嗜好，偏好，货币收入，所有（或所有其他）商品的平均价格，财富和收入分配，等等。世界上的所有其他事物都包括在第（3）类中。当然，不可能一劳永逸地指出划分这些分类的具体界限在哪里，它取决于就分析目的而言什么样的影响被视为是“重要的”，以及关于相关要素及其影响等经验知识。
了解了上述分类以后，需求函数就可以写成下列式子：
（1）qx＝f（px；py，pz；I，Po，W，T，……），
此处的Py和Pz是与X密切相关的商品价格，Po是其他商品的平均价格，I代表收入和收入的分配，W代表财富及其分配，T代表嗜好和偏好。
如果有人极端地把任何能够意想到的影响都认定是“重要的”，而且不愿将任何因素归入第（3）类中，那么，则需包括“每一个”其他商品的价格，每一个个人的财富和收入，以及其他等等。这时的需求曲线则为数理经济家所运用，通常的形式如下：
（2）qx＝f（Px，Py，Pz，…；Pa，Pb，…），
以处第一组价格是各产品价格，第二组是生产要素和劳务价格。这个“瓦尔拉斯”函数并未清楚地揭示所有保持不变的变量，它仅仅明确地包括了各种价格。然而，该式却暗含地假设了，不同的个人所拥有的各种类型资源数量是固定的，因而某一特定的要素价格就被认为决定了每个人所拥有的财富和收入。同样，嗜好和偏好也被视为是固定的。正如已经有人提议的那样，瓦尔拉斯函数可以视为如同（1）式那一类函数的一种极限形式。然而，它的价值在于与（1）式具有完全不同的目的，这一点是非常清楚的。它是一个极其有用的抽象概念，能用来推导价格体系中的逻辑关系，但
它不能用于分析具体问题。
再回到我们首要关注的需求曲线上来，让我们集中注意那些要想精确确定是非常困难的变量：商品价格，全部其他商品的平均价格，以及货币收入。如果我们集中注意于这些变量，便可使公式（1）写成：
（3）qx＝f（Px，I，Po），
请记住，我们省略的一些变量应该具有给定的数值。
公式（3）给人以这样的印象，即x的需求量被视为是三个相互分离和独立的变量的函数。然而，事实并非如此。需求曲线主要的用途是分析经济体系中各部分的关系，分析潜在的“实际”环境的变动所产生的影响。如果在括号内的所有变量（Px，I，Po）都乘以公因子，则消费者所面临的、可能发生的“实际”事情不会有任何改变；而只是简单地引起计算单位的变化，如“便士”代替“美元”。其结果是把公式（3）视为Px，I和Po的零次齐次函数，即具有下列性质的函数：
（4）f（Px，I，Po）＝f（λPx，λI，λPo），
此处的λ是一个任意数。这就等于说Px不是三个变量的函数，而仅仅是两个变量的函数。
上面所说的与一种非常普遍的认识十分接近，即认为影响个人对产品的需求量有两种力量：（1）个人可以利用的一般商品范围发生变化——在“实际”收入上的变动，或对商品和劳务的一般支付能力上的变动；（2）个人能以某一种商品代替另一种商品的条件的变动——相对价格的变动。
现在的问题是如何用需求曲线去描述这种区别，如何把三种变数Px，I，Po“分解”（似乎可以这样说）为两种，并且使当任何一个被简化后的变量保持不变，而另一个变量变动时能够得到一个有意义的结果。
通常的解决办法是，使（4）式中的y等于1/Po，这样需求函数就成为：
（5）q＝f（Px/Po；1/Po）
对该式一般地描述是，当考察价格变动的影响时，使货币收入和其他商品的价格保持不变。用这种方法把Px，I和Po化简为两个变数。在数学上很简单也很方便，但是，不幸的是，它不符合我们在前面对“实际”收入和相关价格所做出的区别。如果用这种特定的方式分解函数，则当我们沿需求曲线移动时，实际收入将发生变化。假定商品x的价格下降，由于货币收入和所有其他商品的平均价格保持不变，个人将能够买到原先购买的商品数量，并且仍有货币节余。这表明，商品x的价格下降，就意味着个人的实际收入的增加，也就是说，他的选择余地更大了。人们已经看到了这一点，并且已经对一种价格变动的影响做了更进一步的分类：归因于个人所面临的选择范围变化的影响，以及相关价格变动的影响——所谓的价格变动收入效应和所谓的替代效应。因此，用Px/Po和I/Po去替换Px，I，和Po这三个变量。对于消费量的影响力并未真正产生两分法式的分类。它仍然是一种三分法：（1）“替代”效应，（2）价格变动的收入效应，（3）货币收入变动的效应。不过，（2）和（3）在逻辑和概念上是相同的。它们二者的区别只能从分解三个变数为二个变数的偶然形式中产生。为了说明这一点，请参见表2．1。
表2.1
| qx | Px | Po | I | |
| （1） | 10 | 1．0 | 1 | 100 |
| （2） | 11 | 0．9 | 1 | 100 |
| （3） | 10．1 | 1.0 | 1 | 101 |
| （4） | 11 | 0．909 | 1.01 | 101 |
从第（1）行到第（2）行的变化是包括通常的需求曲线中的那种价格变动，这两点将落在通常那种单一需求曲线上。这种变动被认为包括两部分：一部分反映出个人面临的选择范围的扩大；第二部分反映出相对价格的变动。现在，考虑从第（1）行到第（3）行和第（4）行的变动。第（4）行的数字显然是与第（2）行相同的，这是因为第（4）行只不过是第（2）行的价格和收入被1．01相乘的积（I/Po和Px/Po是相同的）。因而，从第（1）行到第（2）行的移动等于从第（1）行移到第（3）行加上第（3）行移到第（4）行的和。从第（1）行到第（3）行的移动涉及到“实际”收入上的变动，这个变动大体等于从第（1）行到第（2）行移动中所涉及的收入上的变动。这因为，如果个人购买商品X的数量（即1O）同从前一样多，当商品X的价格降低时，就会有剩余的1美元可供该人使用。因此，从第（1）行到第（3）行的移动与从第（1）行到第（2）行的移动所涉及的部分是相同的，然而，它们的分类完全不同，也就是说，一个划分为收入变动的收入效应，一个划分为价格变动的收入效应。
有一种可供选择的把Px、I和Po三个变量分解为两个变量，并更合乎根据经济上的考虑所提出的双重划分法的方法。这种方法首先是用各种用途中的货币购买力替换Po，然后把购买力作为公式（4）中的y。较为准确的表达式为：（6）
P＝W1Px＋W2Po即P是Px和Po的加权平均数，此处的权数确定为是与最初状态下消费的X商品和其他商品的数量成比例的（所以，P在概念上等于通常的生活成本指数）。这样，我们就可以把公式（4）写为：
qx＝f（Px，I，Po）＝f（Px，I，P-W1Px/W2），或者λ＝1/p，这时
qx＝f（Px/P，I/P，(1-W1［Px/P］)/W2），或者更为一般的写为：
（7）qx＝g（Px/P，I/P）。
很显然，在这种情况下，当I/P固定时，相对于所有商品价格X价格的变动并不涉及“实际”收入的任何明显变动。如果，为了明确说明我们的观点，我们设想I为（货币收入）固定的，那么，若要使P不变，则Px的降低一定会伴随其他价格的上升，这就意味着将花光因X价格的降低而释放出来的任何存款。我们可以用表2．1提供的简单数字作进一步的说明。我们增加了一些新计算结果，重新绘制了表2．2。按一般定义，第（1）行和第（2）行是在相同的需求曲线上，按照方程（7）的另一种定义，它们又不在相同的需求曲线上，因为，如最后的两列所示，第（1）行和第（2）行有两方面的不同：一是第（2）行的X价格比第（1）行低；二是用I/P度量的实际收入第（2）行比第（1）行高。实际收入I/P的变动从第（1）行到第（2）行与从第（1）行到第（3）行相同，价格变动（Px/Po）从第（1）到第（2）行与从第（3）行到第（4）行相同，第（3）和第（4）行按一般定义是在不同的需求曲线上，而按照另一种定义则是在同一条需求曲线上。
表2.2
| qx | Px | Po | I | Px/Po | I/Po | P | Px/P | I/P | |
| （1） | 10 | 1.0 | 1 | 100 | 1.0 | 100 | 1 | 1 | 100 |
| （2） | 11 | 0.9 | 1 | 100 | 0.9 | 100 | 0.99 | 0.909 | 101 |
| （3） | 10.1 | 1.0 | 1 | 101 | 1.0 | 101 | 1 | 1 | 101 |
| （4） | 11 | 0.909 | 1.01 | 101 | 0.9 | 100 | 1 | 0．909 | 101 |
注：P＝0.1Px＋0.9Po，因为就第（1）行而言，qx是qo的1/9。
概括地讲，一般认为需要有两个函数。一个函数应定义为可以用于概括那些通过相对价格来影响商品需求的力量，在这个函数里，实际收入应保持不变。另一个函数应定义为可以用来概括那些通过实际收入影响商品需求的力量，在这个函数中，相对价格显然也应保持不变。后一种形态的函数就是恩格尔曲线，这种曲线联系着需求数量和实际收入。普遍需求函数本意在于表述前一种类型的函数，但是并非如此。因为，这种函数中的实际收入变化并没有被严格地排除掉。如果在一种需求函数中的实际收入（货币收入被收入购买力相除）保持不变，将能产生所希望得到的函数。
统计上的需求曲线
统计上估算需求曲线的目的是为获得指定的条件下相对于一种特定商品的马歇尔需求曲线。在获得统计上的需求曲线时必然遇到两类问题：第一类涉及资料数据本身，第二类是从数据资料转换为需求曲线的问题。
资料通常有两类：时间序列资料，即在不同时点上的价格和商品数量；跨部门资料，即在同一时点上不同单位或不同种类的价格和商品数量。
观察这些资料会发现下列一些问题：（1）差不多任何商品和劳务都存在着大量的价格。是用零售价还是用批发价呢？是用纽约价还是用芝加哥价呢？是用一月份的价格还是用十二月份的价格？是用农村价还是用城市价？不同质量商品的价格如何处理？如何使用平均价，这个平均价如何构成？（2）使用哪种数量？是用生产数量还是用可供国内消费的数量？即我们应如何处理进出口？库存如何处理？通常，供最终消费的销售数量被认为是适宜的数量。（3）价格和数量等各种数字所使用的时间单位是相同的吗？地理单位呢？
假设对所有这样或那样有关数据资料的问题都做出使用上的判断，下一个问题就是用这些数字推导出一条需求曲线。就形成而言，答案是相对明确的，即希望把这些数字安排得仅与一条单一的需求曲线有关。必须根据所有因观察的不同导出的不同因素对得到的数据加以校正，以使它们尽可能地接近于已给定的一组条件。但是，在这里有一个两难的困境。事实上，如果条件可以规定为同一的，那么，就只能观察到唯一的一种价格和唯一的一个数量。因此，真正希望的是影响需求的条件不变时，影响供给的力量有最大的变动。另一种情况是，如果影响需求的力量变化，而影响供给的力量保持不变，则这些数据可用以生成供给曲线。但是，通常影响需求和供给的力量都变化。如果这样的话，转换数字为需求曲线的唯一希望就在于假定影响需求和影响供给的力量是不同的。如果影响需求和供给的力量是相同的，那么，对变动的校正最终将只产生一个点，而不是一条曲线。
怎样校正影响需求力量的变动，可举例说明，通过计算人均的数量可以把人口上的变动考虑进来，通过一般价格指数除商品价格则可以把一般价格水平变动考虑进去。对于某些变量，如实际收入（用价格指数除货币收入）则需要更加复杂的技巧。
以图2．9为例，在根据人口和其他变动对数据进行调整以后，就得到一个散点图（a）。现在希望的是看一看是否可通过调整数据资料中的实际收入得到一个需求曲线，假设在图（a）中联结着与收入的每一点用＋表示，联结着中等收入的每一点用O表示，联结着低收入的每一点用－表示。那么，如果图（a）产生一个类似散点图（b）的点分布形式，就可以推知，试图保持实际收入不变可能产生一个点。在这个情形下，看来实际收入既影响到了需求也影响到了供给。但是，如果图（a）产生一个类似散点图（C）的点分布形式，那么，实际收入的变动就主要是影响了需求曲线，需求曲线可能根据对应于每一个收入水平散点群估计出来，这一切看起来都并不是不合情理的。用另一种方法来表述在图（C）上得到的结果就是，配合三群散点的曲线斜率表示着相对价格的效应，这三群点的位置则显示着收入的效应。在不同的收入水平上的相对价格的效应可能是大略相同的。在这里，需求弹性的情况可以从观察各种收入水平中得到。事实上，通过校正收入差异，在图（C）上的不同点群可能合为一个单一的点群。如果相对价格的效应在不同收入水平上是不相同的（即如果没有简单尺度使图（C）中的各群表示为近似的图形），情况就较复杂。事实上，这时价格弹性必须作为实际收入的函数来计算。实际上需要的技巧是来自于“复相关”，但在这里是不必考虑的。
在某些情况下，相同的数据资料既可用来导出需求曲线，也可用来导出供给曲线。当一些反应滞后时，这是有可能的。如在所谓的“蛛网”情形，在这里，假设当年的供给数量取决于上年的价格，上一年的价格将影响短期供给数量，但不影响需求，因此，需求曲线可以根据当年的价格和数量导出。导出供给曲线需要当年的价格和下年的数量，因为供给数量假定为上年价格的函数。
现在考虑使用同期资料的可能性。有一类同期资料包括一组特定家庭的收入和支出的预算数据资料。不幸的是，与所观察的这些家庭相应的供给条件没有变化，因此，也就没有价格上的差异可用来估算需求曲线。要想得到一个价格-数量曲线是不可能的。但是，如果给定一种在收入和购买数量或用于特定消费品的支出数量之间的关系，求得恩格尔曲线是可以的。
人们高度重视的这类统计结构之一是，在给定的时期（通常是一年）里消费总支出与同期总收入的关系。我们可以运用这种关系来说明解释这些数据资料的问题。
我们企求得到一项特定的变动在其环境中对家庭的影响的、可利用的是关于不同环境中的不同家庭的各种有差别的资料。这产生一个校正某些差异而不是直接参数（即货币收入上的不同）的问题。但是，对于我们的目的而言，更为重要的是如图2．10中的DE这样一条曲线的含义问题。在这个图中，一个特定年份的货币收入是沿水平轴线测定的，而货币支出是沿垂直轴线测定的。OC线把该象限一分为二，因而，OC线表示货币收入等于货币支出的各点。DE线代表在不同的收入阶层上家庭支出的平均值，这个平均值是根据特定的家庭预算研究资料计算的。DE线的位置大体上同这类研究实际得到的结果一致——它表示出低收入阶层的负储蓄和高收入阶层的储蓄；它还表示当收入增加时收入转为储蓄的百分比。对这些研究结果的天真的解释是：（1）富的越富、穷的越穷；（2）一个国家的人均收入越高，收入转为储蓄的百分比就倾向于越高。但另一些资料与这一结论相抵触：在这个国家中至少在过去五十年间收入的不平均并未随时间的推移而倾向于越来越大，而且收入转为储蓄的百分比大体保持不变。
对此的解释是，据以对家庭进行分类的货币收入并不代表或并未测定出它们的持久收入状况；这些资料仅仅是在一个特定年份中的收入量，因而，仅仅反映了各种随机和短期的影响。这就如图2．10所示，将一种偏差引入图中。请看最低收入阶层的例子。就这组人的收入范围可能受到了随机的影响而言，他们的收入明显低于平日——换句话说，没有一个人会在最低收入阶层，因为他的收入偶尔会比平时高一些。从平均上看，这一阶层人的“正常”收入比在特定的调查年份里的收入要高一些，在某种程度上，他们调整支出以适应正常的收入，因此，他们支出看上去要高于调查年份的平均收入。相反，在最高收入阶层里，那些拥有最高收入的人在特定年份的平均收入将超出他们的平均正常收入，因此，他们的支出相对于调查年份平均收入来看是低的。这种情况在中等收入阶层中显然也是在较轻的程度上存在着。收入低于中等水平的阶层在调查年份的平均收入低于其正常收入，反之，收入高于中等的阶层在调查年份的收入高于其正常收入。结果，即使支出占“正常”收入的百分比保持不变，对于按收入划分的家庭而言，一项调查也可能得到一种如图2．10中DE线那样的关于平均消费支出高于平均收入的关系。
但是，如果把家庭按消费支出划分，并画出这些类别的平均收入的点，相同的资料还完全可以产生另外非常不同的关系，如FG线。这又是一种相反的偏差。就具有最低支出的家庭平均而言，可能具有低于“正常”水平的支出，反之，就拥有最高支出家庭平均而言，将具有高于“正常”水平的支出。这个例子说明的就是众所周知的“回归偏差”。
另一类同朝资料包括不同的空间单位资料，如不同的州城市或国家。用这些空间资料构成需求曲线的问题与已经研究过的用时间序列资料构成曲线的问题是基本相同的。要构成一条需求曲线，最基本的是供给条件变动尽量大，而需求条件变动尽量小。但是，对于任何拥有国内市场的产品，除不同州和美国其他地区的运费不同外，供给条件大体相同。由此可知，那些只拥有地区市场的产品，意味着其供给条件是不同的，故其需求曲线的构成将是不困难的。然而，必须校正需求条件上的不同，这些在一定程度上都可以通过考虑诸如市场范围，城市化的程度，人均收入等因素来做到。
使用空间资料的可行性是非常有限的。同时，当使用这些资料时，会得到许多好处，如在时间上变动大的要素可以自动消除，为检验或完善任何研究结果所需的资料也很容易得到，等等。
人们已经做出巨大的努力从时间序列和空间资料上估算需求曲线，从家庭预算资料上估算恩格尔曲线。据我所知，到目前为止，没有人对这种努力的成败做过任何概括的评价。在一些或许许多多场合，这些努力显然是成功的，也就是说，来自某一资料的结果和另一资料的估算结果一致，并且，根据计算出的需求曲线所做的预测比其他方式的预测要准确。但在许多或许大多数场合，它们却是失败的。如果按成功的程度划分统计的结果，并尝试找出最可能成功的环境，这将是极有价值的。
当然，需求表概念的有用性并不取决于能否成功估算数量性需求曲线。其主要价值在于，用作组织知识和思考问题的工具，以及用作对各种影响的方向从性质上给予回答的向导。同时，通过将需求曲线的数量估算值用于各种变动的效应的数量估算，可以扩大需求曲线概念的应用范围。
需求的效用分析
这一节的目的在于深入到市场需求曲线的背后。首先，市场需求曲线可以通过两种不同的方式进行分解。（1）在任何既定的价格水平上，我们能够把总需求量再划分为单个消费者的需求量。在不同的价格水平上，通过这样的作法，我们能够将市场需求曲线表示为单个消费者需求曲线在水平方向上的加总。（2）另一种方式是，在任何既定的价格水平上，我们或许可以将总需求量再划分为对不同卖方的需求量。通过在不同的价格水平上这样做，我们或许可以将需求曲线表示为对单个生产者产品的需求曲线的水平加总。我们之所以对第二种方式说：“或许可以”而对第一种情况说：“能够”。是因为如果不同生产者的产品是完全同一的，消费者究竟从谁那里购买产品将是无差别的。故对每个生产者的需求量将是不确定的。总量在各个生产者之间的划分将完全依赖于供给的状况。在两种划分方式下，总需求量的分解都假定了：对所考虑的全部交易单位——不论是全部的买方还是全部的卖方，价格都是相同的。正是这一假定使我们能够将个量相加而得到市场加总量。
这一假定对于单个消费者的需求曲线来说并不引起什么问题，因为，一般而言，把所有消费者看作支付同样的价格——把价格看作是单个消费者控制之外的事物是适当的。以后我们将会看到，这一假设对于单个生产者的需求曲线的确引出了一个问题，既然人们常常要问，如果一个单个生产者改变他的产品价格而其他生产者不做改变，那么对这个生产者的需求量将会发生什么情况？用来回答这一问题的需求曲线将不是可加的。
我们探讨个人的需求曲线的目的在于更多地了解市场需求曲线。如果一个个人的需求曲线极端地依赖于他的邻人的行为，那么，我们从对一个孤立个人的行为的分析中就不能得知多少东西；这一现象的本质恰恰是群体反应问题，而我们最好还是集中研究市场需求曲线问题。因此，下面分析的假定情况不是这样，即一个人的需求曲线依赖于他自己的相对固定的偏好和他的客观环境，而不立即或直接依赖于他的邻人正在干什么。“东施效颦”作为影响个人偏好的因素并未被消除，但作为影响个人消费行为的近似决定因素是被消除了。
一个人可以购买的商品当然受到他的资源——他的收入和财产以及受到使用这些商品和服务的价格或条件的限制。个人根据这些限制以某种方式决定购买什么商品或劳务。这些决定可视为（1）纯粹偶然的或任意的；（2）和某些习惯性或通常性的行为方式严格保持一致的；（3）深思熟虑的选择行为的。总的说，经济学家们拒绝第1、2种解释，而接受第3种解释，人们认为，这部分地因为，即使是随意的观察也表明，在选择上第3种情况比第1种情况更有一致性和顺序性，而比第2种情况更加灵活；还部分地因为，只有第3种情况满足我们对“解释”的需要。据此，我们将假定，个人在进行这些决策时似乎是在追求一个单一的目的或者试图将其最优化。这意味着，不同的商品有共同的特性，因而使它们相互之间的比较成为可能。这一共同的特性通常被称作效用。人们有时特效用和有用性混淆了，这是对效用概念的一种误解。我们看到，人们总是在选择；如果这种选择被看作一种深思熟虑的行动，那就必须假定，在对其进行选择的不同事物之间应能进行比较；为了能进行比较，这些事物必须有某种共同的东西。由于我们把这一共同特性称作效用，就不应认为这一共同特性必与需要性是一回事。使我们能够预料一个消费单位会如何动作的函数不一定就是能告诉我们需要什么的函数。
让X、Y、Z等等代表不同商品的数量。那么，认为这些商品有某些共同因素、以及认为这种共同因素——效用的大小依赖于不同商品的数量的观点，可以用将效用写作X、Y、Z……的函数的方法来表述。这一函数给出了“总”效用。另一个重要的概念是“边际效用”，其定义是，在其他商品量保持不变时，伴随一种商品量的增加而出现的总效用的变化率。例如，X的边际效用是，对给定的Y、Z等等值而言的，X的每单位变动所引起的总效用的变化率。
边际效用并非如人们有时认为的那样，是最后一个单位的效用；否则，就会引起下面的悖论。设X代表桔子，并且所有桔子都一样。既然所有桔子都一样，那么，每个桔子的效用必定相同。如果边际效用是最后一个桔子的效用，那么，它同样也将是所有其他桔子的效用，所以，总效用将等于边际效用和桔子数量的乘积。显然，这不是定义边际效用的一种有用的方法。总效用等于平均效用和桔子数量的乘积，即这是一个平均效用的定义，和我们平时使用的平均一词意思一样。边际效用定义为“总效用的变化率”，它是最后一个桔子的效用加上又增加一个桔子时前面各个桔子效用的变化。它是数量的每单位变化所引起的总效用的变化率，而不是一个边际单位的效用。
还有，更为重要的是“递减边际效用”的概念。古典经济学家们（斯密、李嘉图等等）在寻求解释价值时，最终得到的结论是：需求和效用不是价值的一个决定因素。这一结论与钻石－水悖论密切相关。在得出这结论的过程中，他们的理由是：水比钻石更有用，然而钻石比水更昂贵；因此，效用不能用来解释价值。在拒绝将效用作为价值的一个尺度的同时，他们提出了价值的劳动成本论，在这一理论中，效用被作为价值的一个条件或前提，但不是作为它的一个尺度。
这里的一个十分重要的混淆是不能将总效用与边际效用区分开。另一个较为次要的困难是不能确定单位。显然，存在一定数量的水可能比一定量的钻石要贵的情况。单位问题且不谈，古典经济学家们未能看到而渐减边际效用论使人们看到的是，来自少量增加的水或少量的另一些钻石的效用的增加。因此，钻石的边际效用可能很高（因为钻石很稀少），而水的边际效用相对较低（因为水很丰富）；结果，钻石的价格相对于水的价格可能就很高；然而，水的总效用可能比钻石的总效用大得多。图2．11显示了这一点。
钻石－水悖论的解决使新古典主义者们能够把需求作为价格的一个决定因素。然而，边际效用和递减边际效用的胜利在某种意义上走得太远了。尽管逐渐减少的边际效用能够说明消费中缺乏专门化这一点是真实的，但决不能由此而认为，我们必须依靠递减边际效用概念才能解释这一观察结果或合理地说明它。
现在我们来说明，如何从一个的效用函数和预算约束得出其需求函数。假设有某种函数U（X，Y，Z，…）。没有预算约束，个人就会不断增加他对X、Y、Z、…的消费，直到它们的边际效用变成零。为了使问题简化，让我们假定，这个人已经决定如何分配他的资源（即劳动力），并且因此已经有了一些收入可供支配。让我们在假设个人面临着既定的价格，Px，Py，Pz…，而其货币收入是I。由此可得到其预算约束：
XPx＋YPy＋ZPz＋…＝I，
其中X、Y、Z是每种商品的数量，上式概括了个人的资源限制条件。既然需要在XPx＋XPy＋ZPz＋…＝I的约束条件下使U（X，Y，Z…）极大化，则可以运用拉格朗日乘数法来求解。因此，我们写出：
U（X，Y，Z…）＋y（XPx＋YPy＋ZPz＋…－I）。
就这一表达式对X，Y，Z，…和y求导，我们得到：
Ux＋λPx＝O
Uy＋λPy＝O
Uz＋λPz＝O
XPx＋λPy＋ZPz＋…－I＝O
从上式可得Ux/Px＝Uy/Py＝Uz/Pz＝…＝λ。此式的经济含义是，每一美分价值的X商品的边际效用必等于同样数量Y、Z、…等商品的边际效用。每一美分的这种共同的边际效用等于λ，对此马歇尔称之为货币的边际效用。表述这一结果的另一种方式是Ux/Uy＝Px/Py。这一式子的解释是，Ux/Uy代表个人愿意以Y代替X的比率，而Px/Py则代表他能够在市场上以Y代替X的比率。均衡条件是：个人愿意以Y代替X的比率等于他能够以Y代替X的比率，因为，如果他都愿意以比他在市场上通过放弃一个单位的X所能得到的更少单位的Y来代替一个单位的X，那么，这样做对他将是有利的，反之亦然。
这一结果可以用图2．12中的图形来说明。在这个例子中，我们假定X的边际效用不依赖于Y的数量；即，两种商品的效用是互相独立的。水平轴上的单位是每一美分的X或Y的价值，等于I的线段代表个人的收入。当消费者这样来分配他的收入，即，使他得自每一美分价值的Y的效用等于他得自每一美分价值的X的效用时，他就是处在均衡状态。从这一图式上可以看出，若没有渐减的边际效用，则个人既可能专门消费X，也可以只去消费Y。这一点之所以成立只是由于我们在前面假设了相互独立性。
图2．13表明了一种相互依赖的情况。在这个例子中，即使存在着递增的边际效用，我们也不一定能得到在消费方面的专一化。
递减的边际效用将使需求曲线具有一个负斜率，但是需求曲线有一个负斜率这一事实并不需要递减的边际效用。
为了说明需求曲线的导出过程，现考虑如下的效用函数：U＝logX＋logY。假设Px、Py和I是给定的。最大化的条件就是Ux/Px＝Uy/Py。现在，Ux＝1/X，而Uy＝1/Y。因此，1/XPx＝1/YPy。由此可得XPx＝YPy。然而，预算约束是XPx＋YPy＝I。故有2XPx＝I及
X＝I/2Px，这就是需求曲线。
我们刚刚看到了，需求函数X＝I/2Px是怎样从效用函数U＝logX＋logy导出的。这一需求函数具有这样的性质，即花在X商品上的货币量是一个不变的和数。这条需求曲线因此是一条等边双曲线。还需注意的是，这里的效用函数是一种X和Y的边际效用相互独立的函数。Y的边际效用仅依赖于Y的数量，而X的边际效用仅依赖于X。上述效用函数还具有每种商品的边际效用递减的性质。
现设效用函数为U＝XY。在这一函数中，X的边际效用等于Y（Ux＝Y），而Y的边际效用等于X（Uy=X）。从图形上看，这一情况可以表示为如图2．14所示的情形。在这一函数中，如果X增加，X的边际效用仍然不变，而若Y增加，Y的边际效用也不变。这一函数在两个意义上与前一种函数不同：不再有递减边际效用，而存在着相互依存性。然而，由这一效用函数所产生的需求函数是一样的，即X＝I/2Px。
现在考虑一下第三种效用函数，U＝X2Y2。在这个例子中，X的边际效用（Ux）等于2XY2，而Y的边际效用（Uy）为2YX2。在这一函数中，不论对X还是Y来说，都存在着相互依存性和递增边际效用。从上述式子中求需求函数，我们得到X＝I/2Px，这再次与我们在前两种情况中所求得的一样。
在前面的三种函数中，我们设定了三种情况，即：相互独立性和递减边际效用，相互依赖性和不变边际效用，以及相互依赖性和递增边际效用。然而在每种情况中，我们最终都得到同样的需求函数。这种表面上的矛盾可以用另一种方式来陈述。我们看到，人们把他们收入的一半用于X商品，这就是当需求函数为X＝I/2Px时的情形。然而却存在三种不同的效用函数可以用来说明这一观察到的现象的合理性。让我们设计一个表格来说明，商品的不同组合是怎样依这些效用函数而排列的。函数Ⅰ：U＝logX＋logy（数字均取自然对数）；函数Ⅱ：U＝XY；函数Ⅲ：U＝X2Y2；而且再增加一种第四种函数，函数Ⅳ：U＝√X＋(√Y/2)。
表2.3
| X | Y | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1.5 |
| 1 | 2 | 0.693 | 2 | 4 | 1.707 |
| 1 | 3 | 1.099 | 3 | 9 | 1.866 |
| 2 | 1 | 0.693 | 2 | 4 | 1.914 |
| 3 | 1 | 1.099 | 3 | 9 | 2.232 |
| 2 | 2 | 1.386 | 4 | 16 | 2.121 |
从表2．3中可以看出，效用函数Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都以同一种方式将商品组合进行排列，而Ⅳ的排列方式不同。不同的效用函数对这些商品组合给予不同的数值；但当考虑任何两组商品时，若函数Ⅰ表明，一组商品的效用高于另一种，函数Ⅱ和Ⅲ也将表明同一种情形。既然按照通常的市场行为，即在确定性条件下的行为，个人只表现出他是否愿意要一级商品而不愿要另一组，但从不表示他要多少，那么，对于这三种效用函数产生同样的需求函数，就不必惊奇了。函数Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都是（XY）的函数，因此，如果我们称U＝XY为一个效用函数的话，其他两个就可以写成U的函数，即F＝logUandG＝U2。但是，函数Ⅳ则不能表示为U的函数。这一点可以推广，即如果某种U＝f（X，Y）和个行为相一致，那么，任何其他函数U*＝F［U（X，Y）］也是如此，假设dU*/dU＞O。这两个条件保证了，所产生的各种效用函数将按同样的方式排列各组商品。用下一节的词汇说，这三种效用函数将具有同一条无差别曲线，即使它们赋予这条曲线以不同的数值。
无差别曲线理论
无差别曲线方法是简明地概括偏好的另一种工具。考虑任何一个商品空间XY，并考虑在这一商品空间中标价为P的X和Y的任何一组。这一商品空间如图2.15所示可分为四个象限。让我们假设，个人宁愿要每种商品中较多的一份而不愿要较少的一份。那么，在标为3的区域内的任何一点显然都是比P点更能满足偏好的，因为它表示或者可多得到些X，或者可多得到些Y，或者两者都能多得些。根据同样的道理，就P点代表着或者是更多的X，或者是更多的Y，或者两者都更多些而言，P点显然比标为1的区域内的任何一点都更能满足偏好。至于第2和4象限中的点，我们可以试问我们正在决定其偏好的个人，他是如何安排各点相对于P点的位置的。我们可以将他的各种选择分别标为＋或标为－。以这种方式，我们可以将区域2和4中的点分别加以＋或－号。在各＋号和－号之间将存在某种边界线，在此线上的各点代表着对他来说是无差别的各种组合，而这条线我们可以称作无差别曲线。我们假设人们偏好于多多益善时，就意味着这条无差别曲线不能横跨第1和第3象限。因此，无差别曲线决不会具有正斜率，而必须是在经济区域中所有各点上都呈负倾斜。确定了无差别曲线在所有各点上均呈负倾斜，还存在着该线或者对原点下凹或者对其下凸的可能性。在下面将要说明其论据基础上，假设无差别曲线凸向原点是合理的，通过从P点以外的一点开始，我们可以用相同的方式划出一条无差别曲线。原则上讲，无差别曲线通过每一个点。一组特定的无差别曲线就是一个特定的个人偏好图。
至于一个特定个人的种种机会，则可以在几何上如图2．16那样表示出来。个人被假定有一项货币收入I，他将这项收入用于商品X和Y。若他将他的所有收入都用于商品Y，他可以购买I/Py个单位的Y。若他将他的所有收入用于商品X，他可购买I/Px个单位的X。因此，这条线相对于X轴的斜率是Px/Py。从经济上说，这意味着，如果个人少购买一个单位的X，他就节省了数量相等于Px的货币。用这一数量的货币，他可购买Px/Py个单位的Y。Px/Py因此代表着商品Y可以用来替代商品X的比率。图中的阴影部分代表可实现的各种组合的区域。
再加上两条已经得到的边界线，我们看到，个人决不会停留在可实现的各种组合的区域内，而是将努力达到边界线上。均衡的条件是，个人选择位于最高的无差别曲线上，同时也位于可实现的组合所构成的线上的那一点。现在可以看清了假设无差别曲线关于原点呈凸性的理由了。如果无差别曲线是向原点处下凹的，那么，均衡点将位于两条轴中的一条之上，即我们将会看到人们在消费方面专一化。因此，我们将这一点排除了。如果无差别曲线在某些地方凸向原点，某些地方凹向原点，那么，个人就不会在无差别曲线凹向原点的任何部位处于均衡状态。因此，无差别曲线在经济上有意义的部分总是其凸向原点的部分。若各无差别曲线都是凸向原点的，则均衡点就是可实现的消费组合线正切于一条无差别曲线的一点。
如上所述，可实现的消费组合线的斜率是Px/Py，或者说是个人能够依以商品Y代替商品X的比率。类似地，对无差别曲线来说，如果个人放弃一个单位的X，他将失去约Ux个单位的效用。因此，为了使个人保持在同一条无差别曲线上，必须给他Ux/Uy个单位的Y。Ux/Uy因此表示了这个人愿意以Y代替X的比率。均衡的正切条件要Ux/Uy＝Px/Py，既然Ux/Uy从数量标明了无差别曲线相对于X轴的斜率。表述这一均衡条件的另一种方式是说：个人愿意以Y代替X的比率必须等于他能够以Y代替X的比率。
我们现在可以来看一下为什么前一节的三种效用函数能得出同样的需求曲线。所有三个效用函数能产生出同样的无差别图。例如，如果U＝F（X，Y）是效用函数，那么由这一效用函数产生的各条无差别曲线将具有的斜率是－[aU/aX]/[aU/aY]＝－Ux/Uy。如果我们取U的任何函数，譬如说U*，使U*＝G［U（X，Y）］，那么，由这一U*函数所给出的无差别曲线的斜率将是－[dU*/dU]Ux/[dU*/dU]Uy＝－Ux/Uy。由此我们看出，所有这些效用函数将具有同样的无差别曲线。即使dU*/dU≤O，这一点也成立。dU*/dU＞O的条件是对于保证按同一方向排列是必要的。
刚才我们已经看到，无差别曲线是分割两个区域的一条分界线，一个区城包括那些与处于无差别曲线上的各种商品组合相比得不到偏好的各种商品组合，另一个则包括那些相比之下得到偏好的各种商品组合。无差别曲线的斜率是消费时的替代率。预算线的斜率则表示了购买时的替代率。预算线不一定就是直线。在一种鲁宾逊·克鲁索经济中，无差别曲线将和上面所描述的一样，但相应地却不是有一条预算线，而是将有一条转换线。这条曲线的斜率所代表的将不是市场上的，而是生产中的替代率。
无差别曲线作为工具的目的在于推导出需求函数，例如说，根据X的价格，Y的价格以及货币收入推导出X商品的需求函数。然而，显然若所有价格和收入都翻一番，个人的机会线将仍然不变。这意味着Px、Py和I的绝对水平并不重要，重要的是比率，如Px/I和Py/I。实际只有两个相互独立的变量。如果我们假定当收入增加时相对价格不变，我们就能得到作为收入的一个函数的X和Y的需求量。
例如，在图2．17中，假定了ABCDE线是平行于所划的那些可实现消费组合的各条线正切于无差别曲线的各点的轨迹。在AB线段，当收入增加时，X和Y的量都将增加；从B到C，当收入增加时，X的量增加，而Y的量减少；从C到D，当收入增加时，X和Y的量都增加；从D到E，当收入增加时，X的量减少，而Y的量增加。如果随着收入的增加一种商品的消费量也增加，则该商品称作优等品，而如果随着收入的增加，一种商品的消费量减少，则该商品称作劣等品。在上图中，在A和B以及C和D之间，X和Y都属于优等品；而在B和C之间，X属于优等品，Y为劣等品；在D和E之间，X为劣等品，Y为优等品。同样的结果可以如图2．18中那样以恩格尔曲线的形式表示出来。数量随收入变动的情况可以用数量相对于收入的弹性（通称收入弹性）或dq/dI·I/q来表示。如果dq/dI·I/q＞O，则相应的商品为优等品；如果dq/dI·I/q＜O，则相应的商品为劣等品。如果dq/dI·I/q＜1，则花在该商品上的收入的百分比随收入的增加而减少；如果dq/dI·I/q＝1，则收入的百分比不变；如果dq/dI·I/q＞1，则花在该商品上的收入的百分比随收入的增加而增加。
我们已经指出过，收入弹性经常被用来定义必需品和奢侈品。如果一种商品的收入弹性小于1，则称之为“必需品”，如果其收入弹性大于1，则称为“奢侈品”。
对所有商品的单位收入弹性将意味着，在无差别曲线图上收入支出路径将是一条通过原点的直线。根据收入弹性的定义可得，kxηx1＋kyηy1＋…＝1，其中kx是收入中用于X的部分，ky是用于Y的，等等；而ηx1是X的收入弹性，ηy1是Y的收入弹性，等等。
无差别曲线分析中隐含的三分法
无差别曲线条件下的消费者行为分析隐含地将影响消费者行为的所有因素分为三类：（1）商品——这些是无差别曲线的各个轴；（2）决定机会的因素——这些被概括为预算线；（3）决定偏好的因素——这些被概括为无差别曲线。
关于这一划分方法的一件重要事情是，它并非是一成不变的。它是一种内容要由所研究的问题来决定的划分方法，因而，同一种因素对于一种研究目的来说可以按商品来对待，并用各条轴来度量它，对另一种研究目的来说就可能按照机会因素来对待，对再一种研究目的还可能作为偏好因素来对待。
为了说明这一点，考虑一下地区选择问题。对于一个正在考虑在哪里定居的人来说，这显然是一种商品，应在其中一条轴上来度量。当此人定居了以后，它就成了一种机会因素，既然它将影响此人对于各种商品和服务所须支付的价格，既然它可能影响此人赋予冬大衣相对于浴袍或赋予暖气相对于空调器的重要程度，因此，也是一种偏好因素。
从形式上说，所有这些方面都可以通过把地区选择作为在一条轴上度量的商品的方式来处理。对于每个地区选择，都有一个可实现商品组合的多维面与无差别曲面的交叉部分与之相对应。相对于一种地区选择的曲面交叉部分，可能对应于与另一种选择相应的交叉部分所对应的不同的机会和偏好。尽管这一点从形式上看完全正确，但是，这并不改变随问题的不同而发生的着重点的变化。
另一个有趣的例子是，一个家庭中的孩子数量。部分地说，父母在决定要多少孩子时都是深思熟虑的。对这个问题而言，孩子是选择的目标，是一种应该在一条轴上度量的“商品”。但是，一旦孩子出世，他们显然会影响机会（例如，看电影的费用将因额外支付婴儿保姆费而提高）和偏好。另一个也是非常重要的复杂变化是，图上出现了另一组无差别曲线——孩子的无差别曲线。
从无差别曲线推导需求曲线
现在可以来说明一下怎样可以从无差别曲线推导出需求曲线了。如果我们将货币收入保持不变，并允许X的价格变化，那么，如图2．19所示，价格比率线将绕Y轴上的一个中心点旋转。对X的不同的价格，我们将得到X的不同的需求量，这样就可以得到一条需求曲线，这实际上就是通常的方式。然而，在这种需求曲线中，当人们沿这条线移动时，实际收入也发生了变化。
还可以建立起另一种不同的需求曲线。考虑一组商品，Xo，Yo，并且通过这组商品画一条预算线。这条线可以绕该点旋转。这是试图使表面的实际收入保持不变的一种方式。这些线的方程是PxXo＋PyYo＝I。从图上看，这第二种方法如图2．20所示。对于固定的货币收入来说，这等于保持了货币的购买力不变。通常建立一种物价指数的方法是，把它作为一组特定商品的（相对）成本来计算。例如，如果这组商品由（Xo，Yo）构成，而且，如果在两种情况（两个时间单位，两种地理区域，等等）下的价格分别是（Px，Py）和（P’x，P’y），那么，在第二种情况下的物价指数相对于第一种情况而言就是P’xXo＋P’yYo/PxXo＋PyYo。但如果I是固定的，那么，对于所有通过这一点（Xo，Yo）的预算线来说，这一比率显然都是1，既然这时被除数和除数都等于I。
这些线对无差别曲线的切点构成一条需求曲线，就货币收入除以一种用前述方法计算出来的物价指数所得的“实际收入”相同这一点而言，对于该需求曲线来说，“实际收入”是不变的。
还有一种需求曲线可以通过考虑一组预算线与一条单一的无差别曲线相切而得到。相应的数量和相对价格将给出一条需求曲线，对这一曲线来说，“实际收入”在其效用的意义上是不变的。
这几种不同的建立需求曲线的方法之间的关系或许可以通过考虑所谓在所有其他价格和货币收入都不变的情况下，一种价格的变化所产生的收入效应和替代效应来更好地说明。在考虑这些问题的时候，我们希望区别“斯卢斯基”效应，即相当于绕（XoYo）点旋转预算曲线所产生的结果，和希克斯效应即相当于考虑一组预算线与一条单一的无差别曲线相切的结果。
看一下表2．4和图2．21。表2．4显示了收入效应的斯卢斯基测度和希克斯测度之间的差别。（a）和（b）之间的差别在于，当Y的价格和货币收入不变时，X的价格更低了。既然他将消费更多的X和Y，消费者显然生活得更好了。情况（c）是斯卢斯基称作从情况（a）开始的得到补偿的价格变化的那个东西。（c）中的收入比（a）中的少，其下降幅度恰恰足以使个人在X的较低价格水平上，能够购买同以前数量一样的X和Y，如果他愿意的话，50个单位X的现值是25美元，而不是50美元，而他现在的收入少了25美元。用斯卢斯基的话说，他的表面的实际收入没有变，但在新的价格水平上，这个人并不购买50个X和50个Y；他购买60个X和45个Y。既然他审慎地选择了后一组商品而非前一组，我们必须假定他偏好于后一组；结果是，他的“实际的”实际收入在（c）情况下比在（a）情况下高；他位于更高的无差别曲线上了。对希克斯来说，为了使这个人保持在同一条无差别曲线上，必须取走他足够的货币收入。我们可以假定，这将如情况（d）所表明的那样，要求取走28美元，这描述了一条同样与（a）情况中那条无差别曲线相切的预算线。除了在下述这方面有所不同外，即，不是表示出为补偿
表2．4
| I | Px | Py | X | Y | |
| （a） | 100 | 1 | 1 | 50 | 50 |
| （b） | 100 | 1/2 | 1 | 80 | 60 |
| （c） | 75 | 1／2 | 1 | 60 | 45 |
| （d） | 72 | 1／2 | 1 | 58 | 43 |
| （e） | 100 | 2／3 | 4／31 | 60 | 45 |
| （f） | 100 | 50／72 | 100／72 | 58 | 43 |
相对价格的下降而形成的一种变化了的收入，而是表示出Y的变化了的价格——一种不变的“货币购买力”情况（e）和（c）一样。类似地，（f）和（d）一样，表示出在一种略为不同意义上的不变的“货币购买力”。
斯卢斯基测度的优点在于，它可以直接从可观察到的市场现象和行为即价格和购买量中求得，尽管在某种意义上它只是一种近似值。而希克斯测度则不然。希克斯测度不能直接求得，它要求进一步了解无差别曲线。价格变动越小，即表中的Px越接近1，则斯卢斯基测度和希克斯测度之间差别的意义就越小。
希克斯和斯卢斯基测度给出了具有使实际收入保持不变性质的需求曲线的两种构造方式。我们可以通过运用希克斯对实际收入变化的测度来导出一条需求曲线，这等于使一条无差别曲线形成扇形。或者我们也可以通过运用斯卢斯基对实际收入变化的测度来导出一条需求曲线，这等于绕点旋转一条线。可以说，斯卢斯基方法是使表面的实际收入保持不变的一种方法。图2．22说明了所讨论的三种需求曲线之间的关系：（1）普通需求曲线，在这一曲线上所有其他价格和货币收入都相同，而且作为一种结果，实际收入变化了；（2）通过（象希克斯那样）将个人保持在同一条需求曲线上而使实际收入不变的需求曲线；和（3）（像斯卢斯基那样）将表面的实际收入保持不变，而且使个人总能够购买最初的那组商品的需求曲线。
这三种需求曲线之间的差别通过参考图2．23将会看得更清楚。作为商品X价格变化的一个结果，我们有一次从P到Q或从X1到X4的运动。从X1到X4的这一运动就是包括在通常所定义的需求曲线中的那种运动。然而，从X1到X4的这一运动作为价格变化的一个结果是一次收入效应和一次替代效应的综合结果。如前所释，将需求曲线仅限制在替代效应上可能是需要的。我们可以用两种方式来分解从X1到X4的运动。按照希克斯的方式，我们可以说，从P到S或从X1到X2的运动是贸易条件变化或替代效应的一个结果。从S到Q或X2到X4的运动是收入变化的结果。因此，
总效应 收入效应 替代效应
（X4－X1）＝（X4－X2）＋（X2－X1）
这一方法在形式上比下面那种方法要简练，但它与可观察到的数量无关。
另一方面，我们可以试着按照斯卢斯基的方式利用可观察到的数量将收入效应和替代效应分离开。当个人处在P点时，他在价格Px和Py的水平上消费X1和Y1，而且将他们的全部货币收入都用于这些商品。如果X的价格从Px变化到Px十△Px（在所画出的图上，△Px是负的），而Py不变，显然需要花费I＋X1△Px来购买和以前同样的一组商品，即X单位的X1和Y单位的Y1。我们因此可以将一项收入（I＋X1△Px）和价格（Px＋△Px，Py）看作是起于初始状态的一次得到补偿的价格变化，即其实际收入效应被货币收入的变化所抵消的一种价格变化。随着这得到补偿的价格变化，个人将从P移动到R或从X1移到X3。按照斯卢斯基的说法，我们可以称之为替代效应，而将从R到Q或从X3到X4的移动称作收入效应。故：
总效应 收入效应 替代效应
（X4－X1）＝（X4－X3）＋（X3－X1）
人们将会注意到，希克斯和斯卢斯基方法的区别在于（X3-X2）。由莫萨克给出的基本定理是：当△Px趋于零时，（X3－X2）项比其他任何差项都更快地趋于零。这一点当然是正确的，即：当△Px趋于零时，Q、R和S都趋向于P点。这意味着当△Px趋于零时，（X4－X3）、（X3－X1）、（X4-X2）和（X2-X1）以及（X3-X2）均趋于零。然而，（X3－X2）与所有其他量不同，它更快地趋向于零，因为当△Px趋于零时，（X3-X2）/（X4-X1）的极限为零，但是，当△Px趋于零时，（X4-X3）/（X4-X1）等的极限并不必然是零。这一点的含意是，测量保持实际收入不变所需货币收入变化的斯卢斯基测度是货币收入理想变化的一个很好的近似值。现在我们可以将这些不连续的差分方式写成连续的形式：（1）
aX/aPx＝aX/aI（－aI/aPx）＋aX/aPx（希克斯）
I＝I2 U＝U1 U＝U1
PY＝PY1 PY＝PY1
（2） aX/aPx=－X1（aX/aI）＋aX/aPx（斯卢斯基）
I＝I1 PY＝PY1 PY＝PY1
I＝I1＋X1△Px其中对于方程2，X1＝aI/aPx，既然为补偿价格变化所需的I的变化是X1△Px，而其每单位变化是X1△Px/△Px或X1。上述两个方程左边的一项是从X1到X4的移动除以价格的变化；即它是价格的每单位变化所引起的数量的变化。两个方程的右边的第一项是收入效应，这一效应是通过应用数学分析方法，即取每单位收入变化所引起的数量变化并乘以从原无差异曲线转到新无差别曲线过程中所隐含着的每单位价格变化所带来的收入变化。两个方程右边的第二项是替代效应，而它表示，当个人被保持在同一条无差别曲线上或在货币收入方面得到一项补偿时，每单位价格变化所引起的数量变化（见图2．24）。我们可能注意到了另一个事实：aX/aPx是普通需求曲线的P点的斜率。
I＝I1
Py＝Py1
因此，如果我们采用斯卢斯基的表达式，并对其中的每一项乘以Px/X，我们得到：
[Px/X][aX/aPx]＝－[aX/aI]Px＋[aX/aPx][Px/X]
I＝I1 Py＝Py1
Py＝Py1 I＝I1＋K1△Px
此方程式左边的那项不过就是普通需求曲线在点P的需求弹性。我们记之为ηxp。另一项－[aX/aI]Px＝-kxηxI，其中Kx＝XPx/I，即收入中用于X商品的部分，而ηXI＝[aX/aI][I/X]即X的收入弹性。最后一项，
[aX/aPx][Px/X]
Py＝Py1
I＝I1＋XI△Px
是一条表示实际收入不变的需求曲线在P点的需求弹性。我们将称之为ηXP。因此，我们得到下式：
ηXp＝－kxηXI十ηXP
劳动供给的效用分析
到目前为止，我们一直把收入和对消费服务的总支出作为同一个事物来对待，或者更一般地说，我们一直考察一项固定的总额在各种不同的消费服务之间的配置，而不问那项固定总额是如何得到的。被分配到支出上的这项总额本身就是两组要实现效用最大化的决策的结果：（1）关于消费单位可以支配的资源性劳务应有多少用于生产活动的决策，以及（2）关于在当前消费性劳务上花费多少以及对已积累起来的财富增添多少或从其中减掉多少的决策。原则上，整个决策应看作是同时做出的，但是在分析时分别加以考虑是方便的。我们可以把决定一项假设的总额如何分配于各种不同的消费性劳务的决策看作是决定附着于那一消费量的效用水平的决策，然后这一效用水平又作为一个单独的方面参与另一项决策。
对于消费单位所拥有的某些资源，其如何使用对消费者来说是无差别的。对财产（非人力资本）而言，一般情况是这样。对于这类资源，实现使用这些资源所得效用的最大化就等于使用这些资源的收入最大化。对另一些资源而言，特别是对于由个人提供的生产性劳务，即他的人力资本而言，不但对使用这些劳动支付多少报酬，而且如何使用这些劳务，对这个人来说都是重要的。工作使效用和反效用的内容具体化，而且效用或反效用可能依赖于所做工作的种类和数量。实际上，提供人的生产性劳务须看作是生产性劳务的出卖以及与所从事生产活动相关联的舒适性消费这两者的结合。我们将在第十一章“生产要素的供给”中进一步考察这一选择。
在这里只通过考察下面这种简单情况以说明人力资本配置的效用分析方法：即不考虑存在多种生产活动和涉及多种工作条件（非金钱优势和劣势）可供个人选择的可能性，只考虑每单位时间内向市场提供多少等质劳动时数的选择问题。
图2．25画出了一个人的一组假想的无差别曲线。纵轴表示消费，或每单位消费性劳务的总价值。众所周知，通常总是暗含地假设最大化过程隐蔽在每一消费值后面：假设消费分布在不同的劳务上面，从而使效用最大化。横轴表示每周工作时数。在每周168小时这一点上有一条垂线，因为那是体力上所能达到的最大工作时数。无差别曲线被划成随着工作周长度的增大而失降后升。下降线段的含义是：某些工作是一种“好事”，即个人愿意牺牲某些消费以便能够工作，亦即，如果他有其他的收入来源，则他会愿意付出以便能工作。然而，图2．25假定超过一定的小时数以后，增加的工作就是一件“坏事”，即它引起反效用，而个人将不愿更多地工作，除非能有另外的消费使这些工作得到补偿。这些无差别曲线表现出最终逐渐接近于每周168小时的体力上的最大极限。无差别曲线越高，则效用水平越高——即对于一个既定的劳动量，消费量越大，效用水平越高。
显然，下降线段可能并不存在；可能不论工作周有多短，工作都被看作是一种“坏事”。这里将下阵线段包括进来是为了说明一般情况，这一情况对于劳务特别明显，即一种特定的劳务到底是“好事”还是“坏事”不是一个依赖于其物理性质的技术现象，而是一个依赖于消费者偏好和市场供求的市场现象。同一种物理性能既可能是一件“好事”，也可能是一件“坏事”，依情况而定。如果市场价格是正的，则它是好事；如果价格是负的，则它是坏事。举一个不太贴切的例子，摇滚歌星唱歌这种工作显然是一件“好事”，因为公众为了听到这种歌唱都愿意支付较高的价格；我们当中的某些人唱歌要向别人付钱。随着人们音乐爱好的改变，在某一时期是“好事”的东西可能要变成一件“坏事”，或者相反。从更基本的角度来看，在现代先进社会中，可以看到的唯一艰苦的、劳累不堪的体力劳动几乎就是从事体育运动工作，而且他们典型地是为从事这项劳动的特权而付出了代价。在以往的太平盛世是件“坏事”的东西，现在变成了一件“好事”。
图2．25中的直线OW和W’W’是可实现的商品组合线，或预算线。OW线与个人没有除其劳动收入以外收入来源的情况相对应，所以它是从原点开始。这条线的斜率就是每小时的工资率（减去税收等等之后的净值，故它表明了可以用于消费的数量）。切点处给出了OL线，这是使个人能够得到最高的无差别曲线的劳动量。注意，这里是“最高的”，而非“最低的”无差别曲线，因为此线是上凹的，这就从根本上证明了这样划它们是对的。
w’w’线对应于个人有Ow’的非劳动收入来源的情况。象图上所画的那样，个人因此而将其工作周长度缩短到OL’。当然，这项结果不是必然的。它只是反应了一组特别的无差别曲线的情况，尽管它看来是所期望的结果，至少对高于某种最低水平的劳动收入是如此。
在前一节中从消费者无差别曲线导出需求曲线时所用的那种分析显然也可以在这里用来推导适用于工资率和非劳动收入的不同组合的劳动供给曲线，而前面关于收入效应和替代效应的分析在这里也可以适用。你会觉得做一下这些分析是有益的。
储蓄的效用分析
现在让我们转过来看一下决定将得自资源性劳务出售的收入中多少用于现期消费，以及多少用于增加积累起来的财富，或者从财富中减去多少加到用于现期消费的预期收入上的决策问题。（在第17章中，将运用这一分析，并在某些方向上加以扩展）这里试图将这一决策结合到效用分析中来，所用的方法和我们刚才将决定工作多少小时的决策结合进来时所做的一样，即在无差别曲线图上加上另一条轴，这条轴用来测量储蓄，或每年加到已积累起来的财富上的美元数。实际上，莱昂·瓦尔拉斯在其伟大的著作《纯粹经济学要义》的较早几版中抵制了这一作法，但他还是在其最后一版中采纳了这一作法，该书的英译本以《纯粹经济学要义》为题出版。
把效用分析扩展到包括对储蓄的分析，表面看来是很简单的，但若假定因此需要在一条轴上测量消费而在另一条轴上测量储蓄率，两者都以每年的单位货币数来度量，就可以看出其中的难点。如，有关的价格比率是什么呢？显然是1：每年总可以通过从消费中减少一美元而给储蓄增加一美元。瓦尔拉斯想把替代效应包括到其论述中，但他不是把应沿储蓄轴度量的变量定义为每年用于储蓄的单位货币数，而是将其定义为商品E，它等于用储蓄购买到的持久收入流，即用一美元的财富得到的持久收入流r，这里，r是利息率。因此，一个单位E的价格是1/r，或利息率的倒数（若r＝0．05，则一年内要花20美元钱才能买到1美元的利息）。但是，这使两个轴不可比了：消费是个流量，是每年的单位货币数；E是一个流量的变化率，一个二阶导数，即每年的年单位货币数。拥有一个适当定义的效用函数的无差别曲线是不会随时间变化的，不论处于它们之上的哪一点，只要潜在的基本条件相同，就会如此。但是对于消费和瓦尔拉斯商品E的无差别曲线来说，情况就不同了。一个正的E使财富存量增加，因而随时间推移，有关的个人会变得越来越富。对同一种消费水平来说，个人愿意用进一步增加财富来替代进一步增加消费的比率将会下降。如此定义的无差别曲线将发生变化。
这个简单方法的困难在于，储蓄并非是像食品、服装等等而是另一种商品，并依储蓄率而提供效用。储蓄是用未来消费替代当前消费的一种方式。我们要想对储蓄进行令人满意的分析，就必须考虑它的这种基本作用，而不是仅仅在无差别曲线图中加上一条轴。多考虑几个时期是十分重要的。与储蓄不同，积累起来的财富可能具有某些特性，使它部分地像其他消费劳务一样成为一种商品，因为它提供了用于应付紧急情况的储备。这项服务可以在无差别曲线的一条轴上进行测度，而部分收入可以看作是用于购买它。用来购买这项服务的收入是从该财富得到的（预期平均）最大收益与作为一种储备而提供较大效用的方式持有该财富而得到的实际（预期平均）收益之间的差额。
如果我们忽略财富的这种作用，那么在无差别曲线图上最容易表示出来的情形就是欧文·费雪所分析的那种，即：假设有限时期的情形，最简单的就是两年期的情形。图2．26中给出了这一情形的图形。纵轴测量第一年的消费，横轴测量第二年的消费。对角线表示这两年的等量消费水平。令R1为第一年中的收入，R2为第二年的收入，而r为利息率，并假定这些数量所适用的个人可能在利息率r的水平上借出或借入任何他能够偿还或可以借出的数目。那么，如果第二年他什么也不花，则第一年他可以用于消费的最大数量将是：（3）W＝R1＋[R2/1＋r]，因为R2/[1＋r]是他可以借入并用他在第二年的收入偿还的最大数目。W是他起初所拥有的财产，它定义了可实现商品组合线与纵轴相交的A点。如果他在第一年什么也不花，则他在第二年可以用于消费的最大数量是：（4）（1＋r）W＝R1（1＋r）＋R2。因此AB线是可实现商品组合线。市场上的替代率是这样一种水平，它使得个人在第一年每减少1美元的消费就可以在第二年增加（1＋r）美元的消费。如图所示，均衡点P点表示了使第二年比第一年可以有更高消费水平的一种选择，但是，这当然是一组特定的无差别曲线和一种特定利息率的结果。
我们可以运用这一简单的模型来说明一下时间偏好——个人愿意依此以未来消费替代当前消费的比率。时间偏好率因此是无差别曲线的斜率，并且会因处于图中不同的点而有变化。在相应于第一年消费水平高、第二年消费水平低的一点上，个人偏好于增加未来的消费而非偏好于当前的消费，即他愿意放弃一美元以上的当前消费以增加一美元的未来消费。相反，在相应于未来消费水平高而当前消费水平低的一点上，个人则偏好于增加当前消费而非未来的消费，即为了补偿他所放弃的一美元当前消费，需要进行多于一美元的未来消费。因此，时间偏好率是一个变量，它依赖于当前和未来的消费水平。在P点，时间偏好率等于市场替代率（1＋r），因为个人将调整他的消费时间模式以实现这一均等。
人们常说，某个人“低估了未来”或有“对于现在而非未来的偏好”，或“对未来进行了贴现”。对这些说法赋予一定意义的一种方式是在图2．26中的对角线上用时间偏好率的语言来定义它们。在这条线上，未来消费等于当前消费。看来有理由说，如果对处于这条线上的各点而言，无差别曲线的斜率是1，或如果无差别曲线是与此线对称的，则个人在现在和未来之间就是中立的。如果各条无差别曲线对于在这条线上的各点来说比那条－45度的线更平坦，则表示个人将低估未来，如果那些曲线更陡峭，则表示个人将高估未来。我们可以更一般地说，如果各无差别曲线是以这样一种方式与对角线不对称，即对角线左侧的一点比它在对角线右侧相对应的一点位于一条更高的无差别曲线上，则个人就会低估未来。
再回过来看消费和储蓄的决定问题，我们又回到一种熟悉的局面中。看来消费模式依赖于三个变量：R1，R2，r，然而从图2．26来看，很清楚，只有两个变量是重要的：W＝R1＋（R2/［1＋r］）和r，即财富和利息率：（5）C＝f（r，W）如果我们把R1和R2解释为在两年中度量到的收入，则每年的消费不是依赖于收入，而是依赖于财富（或“持久收入”）。另一方面，如果我们将储蓄定义为度量到的收入和消费之间的差额，则储蓄依赖于收入，因为（6）S1＝R1－C＝R1－f（r，W）
在这一模型中，储蓄有两个动机：“调直收入流”，也就是，在一段时间内使消费比收入更稳定——这一动机使R1进入了方程6；以及通过储蓄得到一项收益，这一动机使r进入了方程5。方程5中的W可以看作起到一种双重作用，既作为可利用机会的一种测度，又作为对预防不测之储备的消费服务的一种测度。
如果图2．26中的无差别曲线是相似的，即如果这些无差别曲线在从原点起的各个方向上都具有相同的斜率，则方程5就会出现一种特殊情况。这时方程5就简化为：（7）
C＝k（r）·W
C＝k（r）·W
或者，为了把可能影响消费、但又没有包括在我们的简单表达式中的其他因素也包括进来，可写为：
（8）C＝k（r，u）·W
此处的u代表那些其他因素。在这一特例中，我们将用在对角线上的各无差别曲线的共同斜率来定义消费者时间偏好率的数量值。如果消费者在这一意义上有中性时间偏好，则对于任何正的利率，未来消费都将超过当前消费。如果消费者对未来进行了贴现，则对于某些正的利息率来说，当前消费将会超过未来消费。
这个简单的时期模型还可以用来说明个人所能进行的借与贷之间的利率差的影响。这一差别额可能仅仅起因于借者和贷者之间的金融媒介的各项成本，或仅仅起因于人力资本和非人力资本之间的差别，这一差别使得人力资本作为贷款的一种派生物通常不那么令人满意。为rB为消费者可以依其得到借款的利息率，而rL为消费者可以依以贷出款项的利息率，并且rB＞rL。则这一消费者的预算线将如图2．27所示，在相应于两年期收入（R1，R2）点的位置上有一个折点。因此，对财富的度量就不是含糊不清的了，而最终的度量结果可能有赖于初始状态，即依赖于初始状态的位置和无差别曲线的形状。
将这一分析推广到无限时期的情况，用公式方法并不困难，用二维图形的方法则很难做到。公式的推广方法是，把经济行为者看作是一个作为整个未来消费模式函数的效用函数：（9）U＝F［C（t）］，
其中C（t）代表时刻t的消费流量，而t从所讨论的时期一直延伸到无限的未来，例如说从to到∞。这个经济行为者还被设定为拥有如下一个机会集：
（10）G［C（t）］，
此集合概括了对他来说可能实现的各种消费时间模式。因此，他被设定为，在方程10的机会集的约束条件下，使方程9的效用函数最大化。
这一公式非常之通用，而且非常之空洞。为了使之具有一定的内容，有必要使方程9和10具体化。例如，方程9可以加以具体化，即假定存在着某种内部贴现率，比如说，可以将方程9写成如下的特殊形式：
（11）U（to）＝∫∞tof［C（t）］e-ρtdt
当然，在这个例子中，方程11的任何单调变换，比如说：（12）U*＝F（U），都会产生同样的结果，只要F’（U）＞O。方程10则可以通过假定存在着某种市场利息率r，使得任何消费模式都可实现的方式加以具体化，这时对于该消费模式有：（13）
W（to）≥∫∞toC（t）e-rtdt，其中W是个人在未来的预期收入流的、与方程11类似的贴现值。有许多分析使用了这类使问题具体化的方法，特别是在关于增长模型的文献中，但是尚没有理由强调其中那种具体化方法值得给予特别的信赖。
在两维图式中表示无限时期情况的一种方法是，用如下的假定来使方程10中的机会集具体化，即假定对个人来说唯一可实现的选择是二维的：对一个时间单位例如一年来说，有一个数量为C1的消费率；对于以后的无限的未来有一个数量为C2的消费率。为了使这一假设有些道理，我们还须假定个人具有无限的生命以及不变的偏好。这一点似乎荒唐，但其实不然。它仅仅是再现下面这一现象的一种方法，即家庭是基本的消费单位，而不是个人，且个人在针对当前消费与未来消费做出决策时，所考虑的是他的后代从消费中推断出来的效用将和他自己的推断一样。具有无限生命力且不改变爱好的个人因此代表了有无限生命力的家庭线索。二维表示方法尽管非常特殊，还是揭示出了为两个时期特例所掩盖的储蓄-支出过程的一个重要特性。
令R1为第一年收入流量的速率，R2假定为其后无限长期内流量的稳定速率，而r假定为在一定时期内不变的利息率，个人可以在这一利息率水平上进行借贷。由此可知，个人最初的财富状况是：
（14）W＝R1[R2/r]
这里r成了最后一项的分母；而不是像方程（3）中那样是由1＋r作分母，因为这里R2是一个永恒的收入流，而不只是一个时期的收入。这一初始财富水平确定了A点的含义，即如果以后的消费是零，则A为第一时期的最大消费值。第一年结束后的最大消费值是其后的永久收入即R2加上第一年收入所得的利息（如果第一年的消费是零的话），即rR1，故rW＝rR1＋R2定义了B点，而连接AB的线就是可实现的商品组合线。此线相对于C2轴的斜率是1/r，即为使以后每年增加1美元消费而必须放弃的当前消费的美元数；相对于C1轴来说，斜率是r，即放弃一美元的当前消费所能增加的未来消费的美元。图2．28是按照0．20的利息率画的，以便能够看清不同的点。
如图所示，P1是一个均衡点，在该点上，第一年的消费水平较之以后无限期中的各年为低，以便能提高未来的消费水平。我们现在再向前移动一年，再看一下这时的情形，这里再次假定：仅有的选择是一个数是为C1的一年期消费率和数量为C2的以后各期的消费率（这是此类分析方法的不太令人满意的因素，因为我们当然会希望个人在时刻O就选择好整个未来的消费模式，而不是以这种一次走一步的方式前进）。既然我们假定了个人具有不变的偏好，因此，这时的无差别曲线和P1点时是一样的，但机会线不同了，因为第一年的储蓄被加到了个人的财富中。新的机会线（A’B’）将通过对角线上相应于P1的横坐标的那一点。新的均衡点是P2。
虚线是以后各年的这类均衡点的轨迹，它定义了个人未来消费的路径。如图所示，虚线在P3点与对角线相交。在这一点上，个人的如前面所定义的时间偏好率（对于一种不变的消费水平来说）等于其能够依以当前收入替代未来收入的比率。这一点一旦达到将维持下去。
假定在我们开始时，个人拥有的财富水平使得P4成为均衡点。这样，个人就会减少储蓄，即减少财富以增加当前消费。个人将会沿着之字虚线所提示的路径下降一直到P3点。
这一套方法的优点在于它揭示了财富的均衡存量（所希望有的财富）与实现这一财富存量水平的均衡速率之间的区别。如果个人尚未具有这一财富存量，他将会向这一数量靠拢。将存在一种均衡的速率，而个人愿意依照这一速率向该存量水平靠近，这速率的大小既依赖于个人距离他的理想财富有多远，也依赖于他当前的财富水平如何。在决定财富的理想存量时所考虑的问题不同于决定其希望以多快的速度靠近该水平时所做的考虑，尽管这一区别被图2．28中的二维表示法弄得模糊不清了。
在2．28图中，为了使其中存在一个财富的均衡水平，必须使无差别曲线的斜率随着财富的增加而沿着对角线变得越来越平坦；也就是说，图中必须要求未来消费有越来越大的增加量以补偿放弃一美元当前消费的损失，或者换言之，必须使相对于未来消费而言的对当前消费的偏好随财富的增加而增强。从直觉上看这似乎有点反常。看来如果应该出现什么情况的话，相反的情况倒更可能出现。
如果无差别曲线是相似的，即它们沿从原点开始的各条射线都有相同的斜率，那么虚线就决不会像图2．28中的虚线那样与对角线相切。它倒更可能是一条起于原点的射线。如果它低于对角线，则它将意味着财富的无限积累；如果它高于对角钱，则意味着无限的反积累。但是不论在哪种情况下，都会存在一个均衡的积累率或反积累率。对于近代进步的社会来说，可观察到的现象与隐含着无限积累的图示之间不存在不一致。
这是对一个非常复杂的问题的一种非常不完整的处理方法。其目的在于显示我们所发展起的这套方法如何能够说明这类问题。
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